很多孩子都从简单的字母书开始学习阅读,“舒舒服服地坐在大人温暖的大腿上,随着字母表的展开,孩子们从A代表鳄鱼到Z代表斑马,静静地聆听着”。这样的字母读物不是什么伟大的文学著作,却是让孩子认识字母、词汇和语言的启蒙读物。知名数学史学者威廉·邓纳姆受此启发,依照字母顺序撰写了一系列小短文,以大量的历史事实,涵盖了众多的数学主题、名家故事、学术争论与疑难谜题。可以说,这本《数学那些事儿》是展示数学魅力无穷的学科概貌的博物馆与导览图,并因其兼具学术性与趣味性,被美国出版商协会评为1994年的最佳数学书
当然,这本书里的B、C、D、E、F所代表的不会是熊、骆驼、狗、大象和青蛙,而是伯努利试验、圆、微分学、欧拉和费马,但按照字母顺序周游知识世界的基本思想还是一致的,而且邓纳姆已经殚精竭虑地设计出了与字母表顺序一致的主题顺序和逻辑结构从A代表的“算术”主题开始,有时用专章讨论某位数学家或某个具体问题,有时则以前后相继的数章讨论同一个话题,例如G、H、1这三章讨论的是几何,K和L这两章讲述的则是牛顿与莱布尼茨这两个死对头。
这一编排灵活机动而又详略得当:V词条篇幅极短,因为邓纳姆认为用直观方法表现集合关系的“维恩图”既无深远意义亦非剑桥大学牧师约翰·维恩的原创,“在数学漫长的历史中没有谁仅凭借这一点就获得了如此的声望,实在没有什么可说的了”;而“x-y平面”词条一下就用掉了两个字母,因为建立在X-Y平面之上的分析几何“是几何和代数的融合,是整个数学中最幸福的婚姻”。可以说,邓纳姆避免贪大求全地全面描述数学发展历程,而是注重叙述的连贯性与趣味性,以一种忠实于原貌同时又让当今读者能够理解的方式,将数学的智力探索过程与数学大师的思想脉络展现出来,把对读者背景的要求降低到最低程度例如,我从未在任何科普作品中读到对蒙特卡洛模拟这一概率论与数理统计重要方法言简意赅又通俗易懂的解释,而邓纳姆以估测形状不规则的湖泊面积为例就简洁生动地完成了这个任务。
虽然邓纳姆谦称此书只是“一个人只身面对浩瀚数学宇宙的感悟”,但他却能在闲坐谈天间将数学种种事儿娓娓道来。正职为律师和法官的“业余爱好者王子”皮埃尔·德费马曾说出如此的豪言壮语:“也许子孙后代会感谢我向他们展示了古人不知道的每一件事。”无数业余数学爱好者们则希望解决尺规三等分一般角问题,事实上这和永动机一样不可能实现,还不如尝试着“寻找两个偶数,其和等于奇数”。这样的偏执与狂热还有更加疯狂的例证美国印第安纳州议会众议院曾在1897年投票通过法案,支持业余数学爱好者古德温医生的主张:=4。他声称对这个数值拥有版权,但“允许这个州免费使用这个数”。幸亏参议院最终没有通过这一法案,才得以让π=3.14159……在该州继续合法,难怪一位议员会抱怨:“参议院还不如立法让水往山上流。”
但数学的发展的确离不开坚定的信念、顽强的意志与巧妙的方法。两千多年前的阿基米德既没有十进制体系也没有计算器,却以处理平方根嵌套的方法,成功地用到9边形来拟合圆周并估测值。当各个科研机构的超级计算机可以轻易地将计算到小数点后10亿位甚至更多时,纽约的楚德诺夫斯基兄弟却自己动手,用邮购得到的元器件组装成计算机,将π值计算到小数点后20亿位。可大多数数学家依然希望“古老的数学不要被接上电源”,期盼着经典的猜想与难题能通过几页纸那样短小、睿智而优雅的证明而非计算机的“蛮力方法”得到解决。这是因为数学毕竞是优秀丰盛的纯思维训练,是理想的、精神的与永恒的课题,是“人类心智的荣耀”。所以罗素与怀特海才会在皇皇巨著《数学原理中尝试将整个数学回推到基础的逻辑原理。这一周密过程带来的结果是惊人的他们最终证明了1+1=2时,该书已经厚达362页!
理解了这一点,我们就会明白为什么一本名为《毕达哥拉斯命题》的书会列举关于毕达哥拉斯定理的367个证明,其中有国人熟悉的“勾股定理”形式、英国数学家约翰·沃利斯给出的最为简短的证明,甚至还有继林肯后第二位被暗杀的美国总统詹姆斯·加菲尔德的证明。多次证明同一个定理或许没有逻辑必要性,“但是重复揭示同一个主题有一种美学上的动力”,包含着不同的数学曲调与节奏,而定理本身“总是保持着它的优美,它的清新,还有它那永恒不灭的神秘感”。身处现代科学和技术进步中的我们很容易觉得自己的智力优于以往任何时代的人,“毕,亚里士多德没有得到博士学位,欧几里得也没有得到诺贝尔奖”。但我们不能仅仅因为过去的数学大师们需要一章来做“我们只需要一页纸就可以完成的工作,就认为他们的工作是“无用”的、他们的智力是有限的。“在所有的人类奋斗历程中,最好要记住我们的前辈”
就拿“伟大的欧拉”来说,他是画家中的伦勃朗,音乐家中的巴赫,作家中的莎比亚;他在有生的60多年间,完成了近900种专著、书籍和论文,每年平均发表新的数学内容800多页;他在数论、微积分、代数、几何等已有领域建树良多,并几乎独立创立了图论、变分法、组合拓扑、复数概念与运算、函数思想等一系列新的数学分支。他在15岁时完成本科的学习,四年后解决了“确定帆船上桅杆的最佳位置”这一难题,获得法国科学院颁发的奖项并赢得国际声誉。尽管瑞士的航海业不够发达(实际上压根就没有领海),但是瑞士的欧拉得了奖,可以说,“这种强大不是航海的强大,而是数学的强大”。
著名数学家哈代曾说:“真正的数学家的真正的数学’,费马、欧拉、高斯、阿贝尔和黎曼的数学几乎统统是不实用的。”在书中我们则可以看到不实用的数学所能发挥出的巨大的实用威力:印度测绘局的职员们单纯利用测量数据与三角学知识,便在1852年计算出了珠穆朗玛峰的高度;而人类直到一个世纪后才首次登上珠峰。“爬这一山峰需要背包、冰斧和非凡的勇气,而确定它的高度只需要三角学。”难怪邓纳姆期望这本小的“字母书”能再现15世纪希腊哲学家普罗克洛斯的高尚情怀:“单凭数学便能重振生机,唤醒灵魂,赋予其生命,能够化想象为现实,能够变黑暗为智慧的光芒。”
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